Question

10．设S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，S₃=a₂²，且S₁，S₂，S₄成等比数列，则a₁₀=（　　）

• A． 15
• B． 19
• C． 21
• D． 30

Answer 1

分析 由S₃=a₂²，结合等差数列的求和公式可求a₂，然后由${{S}_{2}}^{2}={S}_{1}•{S}_{4}$，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，结合通项公式进行求解即可．

解答 解：设数列的公差为d，（d≠0）
∵S₃=a₂²，得：3${a}_{2}={{a}_{2}}^{2}$，
∴a₂=0或a₂=3；
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴${{S}_{2}}^{2}={S}_{1}•{S}_{4}$，
∴$（2{a}_{2}-d）^{2}=（{a}_{2}-d）（4{a}_{2}+2d）$，
若a₂=0，则可得d²=-2d²即d=0不符合题意，
若a₂=3，则可得（6-d）²=（3-d）（12+2d），
解可得d=0（舍）或d=2，
∴a₁₀=a₂+8d=3+8×2=3+16=19，
故选：B．

点评 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，利用方程组思想是解决本题的关键．