Question

16．已知等比数列{a_n}是递增数列，且a₂a₅=32，a₃+a₄=12，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=2b_n+2a_n（n∈N^*）
（1）证明：数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若对任意n∈N^*，不等式（n+2）b_n+1≥λb_n，总成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质和通项，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）求出数列{b_n}的通项，判断数列n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1的单调性，结合不等式恒成立的思想方法，即可得到最大值．

解答 （1）证明：由等比数列的性质可得a₂a₅=a₃a₄=32，
又a₃+a₄=12，解得a₃=4，a₄=8或a₃=8，a₄=4，
由于等比数列{a_n}是递增数列，
则a₃=4，a₄=8，
即有公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=2，
则a_n=4•2^n-3=2^n-1；
b_n+1=2b_n+2a_n（n∈N^*）=2b_n+2ⁿ，
$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$+1，
即有数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为1，首项为1的等差数列；
（2）解：由（1）可得$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+n-1=n，
即有b_n=n•2^n-1，
不等式（n+2）b_n+1≥λb_n，
即为λ≤n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1对任意n∈N^*恒成立．
由于n+3+$\frac{1}{n+1}$•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-[n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1]=1-$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$，
且n（n+1）•2ⁿ＞n+2，则有n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1递增，
即有n=1时，取得最小值，且为3．
则λ≤3．
即有λ的最大值为3．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义、通项的求法，同时考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性解决，属于中档题．