Question

8．已知向量$\vec a$=（2cosα，2sinα），$\vec b$=（3cosβ，3sinβ），$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，则直线$xcosα-ysinα+\frac{1}{2}=0$与圆${（x-cosβ）^2}+{（y+sinβ）^2}=\frac{1}{2}$的位置关系是（　　）

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相离
• D． 随α，β的值而定

Answer 1

分析 只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系．

解答 解：由已知得到|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，
$\vec a$•$\vec b$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β）=6cos60°=3，
所以cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，
圆心到直线的距离为：$\frac{|cosβcosα+sinβsinα+\frac{1}{2}|}{\sqrt{co{s}^{2}α+（-sinα）^{2}}}$=|cos（α-β）+$\frac{1}{2}$|=1，
圆的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以直线与圆相离；
故选C．

点评 本题考查了平面向量的数量积、两角差的三角函数公式，点到直线的距离，直线与圆位置关系的判断等知识点；比较综合，但是难度不大．