Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，2），$\overrightarrow{c}$=（0，1）．
（Ⅰ）求实数λ和μ，使$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow{b}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$，求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知表示出$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow{b}$的坐标，利用向量相等的性质解答；
（Ⅱ）将$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标表示出来，利用数量积公式求夹角．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow{b}$=（λ+μ，2μ），
所以$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=0}\\{2μ=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{c}$=（-1，2），$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$=（4，-2），
故cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-4-6}{\sqrt{10}×\sqrt{20}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
所以$θ=\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等的性质以及利用数量积公式求向量的夹角．