Question

9．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中D称为f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否有上界，请说明理由．
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数表达式，通过换元法转化为关于t的二次函数，结合二次函数的性质以及有界函数的定义进行判断即可；
（2）问题转化为[-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_max≤a≤[2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_min，分别求出其最大值和最小值即可；
（3）结合上界函数的定义类比即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=1+${（\frac{1}{2}）}^{x}$+${（\frac{1}{4}）}^{x}$，
令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$t＞1，
则f（x）=g（t）=t²+t+1=${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），
即f（x）在（-∞，0）上的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-${（\frac{1}{4}）}^{x}$≤a•${（\frac{1}{2}）}^{x}$≤2-${（\frac{1}{4}）}^{x}$，
∴-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$≤a≤2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在[0，+∞）上恒成立，
即[-4•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_max≤a≤[2•2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$]_min，
设 2^x=t，则-4t-$\frac{1}{t}$≤a≤2t-$\frac{1}{t}$，
设h（t）=-4t-$\frac{1}{t}$，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，
由x∈[0，+∞） 得 t≥1．设1≤t₁＜t₂，
则h（t₁）-h（t₂）=$\frac{（{{t}_{2}-t}_{1}）（{{4t}_{1}t}_{2}-1）}{{{t}_{1}•t}_{2}}$＞0，
p（t₁）-p（t₂）=$\frac{{（t}_{1}{-t}_{2}）（{{2t}_{1}t}_{2}+1）}{{{t}_{1}•t}_{2}}$＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
故h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为
p（1）=1，
所以，实数a的取值范围为[-5，1]；
（3）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≥M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的下界，
例如：y=x²+3．

点评 本题考查了新定义问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．