Question

1．已知f（x）=（x-x²）e^x，给出以下几个结论：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜1}；
②f（x）既有极小值，又有极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值；
④f（x）有最大值，没有最小值．其中判断正确的是①②④．

Answer 1

分析 解不等式f（x）＞0，判断①，通过求导得到函数f（x）的单调性，判断②，结合②判断③④即可．

解答 解：①由f（x）=（x-x²）e^x＞0，解得：0＜x＜1，
故①正确；
②由f′（x）=e^x（-x²-x+1），
令f′（x）＞0，解得：$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或x＜$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∴函数f（x）在（-∞，$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$），（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，+∞）递减，在（$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）递增，
∴f（x）_极小值=f（$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$），f（x）_极大值=f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
故②正确；
③x→-∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值，没有最小值，
故③错误，④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．