Question

6．已知数列{2n}的前n项和为a_n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，数列b_n的通项公式为b_n=（n+1）（n-3），则b_nS_n的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{9}{4}$
• C． -3
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：a_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴b_nS_n=（n+1）（n-3）×$\frac{n}{n+1}$=n²-3n=$（n-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
∴当n=1或2时，b_nS_n取得最小值为-2．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．