Question

17．已知函数f（x）=x³+$\frac{3}{2}（{a-1}）{x^2}$-3ax+b，x∈R在（0，1）处的切线方程是y=-9x+1．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到方程组，解出即可；
（2）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（3）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极大值和极小值，进而求出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+3（a-1）x-3a
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（0）=-9}\\{f（0）=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{f'（0）=-3a=-9}\\{f（0）=b=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}}\right.$，
∴a=3，b=1．
（2）f（x）=x³+3x²-9x+1⇒f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-3，
当x＜-3或x＞1时f'（x）＞0，f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）内单调递增，
当-3＜x＜1时f′（x）＜0，f（x）在（-3，1）内单调递减；
（3）f（x）=x³+3x²-9x+1，x∈[m，2]f'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
令f'（x）=0得x₁=1，x₂=-3
将x，f'（x），f（x）变化情况列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由此表可得f（x）_极大=f（-3）=28，f（x）_极小=f（1）=-4，
又f（2）=3＜28，
故区间[m，2]内必须含有-3，即m的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．