Question

7．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n，并证明：$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用第2项、第5项、第14项成等比数列，得到关系式，求出公差，即可求出a_n=2n-1．
（2）化简b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$利用裂项法求和，通过T_n+1-T_n＞0，判断数列{T_n}是递增数列，即可证明$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a_n=a₁+（n-1）d，（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）…（4分）
整理：3d²=6a₁d（d＞0），
∴d=2a₁=2，∴a_n=1+（n-1）2=2n-1．
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）…（7分）
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{（2n+3）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$   …（9分）
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$  …（10分）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$＜$\frac{1}{3}$…（12分）
∵T_n+1-T_n=b_n=$\frac{2}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，数列{T_n}是递增数列．
∴T_n≥T₁=b₁=$\frac{2}{15}$．  …（13分）
∴$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．  …（14分）

点评 本题考查数列的综合应用，数列与不等式的关系，考查数列求和的基本方法，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．