Question

4．设函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）在区间上的单调递增区间；
（2）求在[0，10π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据三角函数的图象和性质即可求在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．（3分）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，（6分）
∴由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[k$π-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z （9分）
（2）（2）f（x）=1即sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，则2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$
于是x=kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）
∵0≤x＜10π，
∴k=0，1，2，…9
∴在[0，10π）内使f（x）取到最大值的所有x的和为45π+$\frac{5π}{6}$．（14分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练三角函数的单调性，周期，以及最值的应用，属于中档题．