Question

对?x∈[

2

，4]，

5

2

x²≥m（x-1）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，5

  2

  -5]
• B、（-∞，

  10

  3

  ]
• C、（-∞，10）
• D、（-∞，10]

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：把给出的不等式变形，得到m≤

5

2

[(x-1)+

1

x-1

+2]，利用基本不等式求出(x-1)+

1

x-1

+2的最小值后得答案．

解答： 解：对?x∈[

2

，4]，

5

2

x²≥m（x-1）恒成立，
等价于m≤

5

2

x2•

1

x-1

=

5

2

[(x-1)+

1

x-1

+2]，
而

5

2

[(x-1)+

1

x-1

+2]≥

5

2

[2

(x-1)• 1 x-1

+2]=10，
当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2∈[

2

，4]时上式等号成立，
∴m≤10．
即实数m的取值范围是（-∞，10]．
故选：D．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．