Question

11．数列{a_n}的首项a₁=b（b≠0）的前n项和为S_n，数列{S_n}为等比数列，q为公比，且0＜q＜1，
（1）求证：数列{a_n}以第二项起成等比数列；
（2）求：a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式和数列的通项与求和之间的关系，即可得证；
（2）运用等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 （1）证明：数列{S_n}为等比数列，q为公比，且0＜q＜1，
即有S_n=S₁•q^n-1=a₁•q^n-1=b•q^n-1，
n=1时，a₁=S₁=b，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=b•q^n-1-b•q^n-2=b（q-1）•q^n-2，
对n=1不成立．
故数列{a_n}以第二项b（q-1），成公比为q的等比数列；
（2）解：a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n=b²+b²q（q-1）+b²q³（q-1）+…+b²（q-1）q^2n-3
=b²+b²q（q-1）（1+q²+…+q^2n-4）
=b²+b²q（q-1）•$\frac{1-{q}^{2n-2}}{1-{q}^{2}}$
=b²+b²q•$\frac{{q}^{2n-2}-1}{q+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，属于中档题．