Question

1．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出 $\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{|AB|}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，进而求得其最小值．

解答 解：设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），焦点为F（$\frac{1}{4}$，0）
抛物线准线x=-$\frac{1}{4}$所求的距离为S=|$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$|
=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{4}{+x}_{2}+\frac{1}{4}}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$，
[两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号]
∴$\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{|AB|}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．