Question

12．已知对任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到点的轨迹是曲线x²-y²=2，则原来曲线C的方程是（　　）

• A． xy=-1
• B． xy=1
• C． y²-x²=2
• D． y²-x²=1

Answer 1

分析 设平面内曲线C上的点P（x，y），根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到点P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），另由点P′在曲线x²-y²=2上，代入该方程即可求得原来曲线C的方程．

解答 解：设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到点P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），
∵点P′在曲线x²-y²=2上，
∴[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）]²=2，
整理得xy=-1．
故选：A．

点评 此题是基础题．考查向量在几何中的应用以及圆锥曲线的轨迹问题，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力以及计算能力．