Question

3．已知函数f（x）=cosx（2sinx+mcosx）的图象经过点P（π，-2$\sqrt{3}$）．
（1）求m的值以及f（$\frac{π}{6}$）；
（2）函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$后得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件求得m的值，再利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，可得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cosx（2sinx+mcosx）的图象经过点P（π，-2$\sqrt{3}$），可得cosπ（2sinπ+mcosπ）=-2$\sqrt{3}$，
即-1×（0-m）=-2$\sqrt{3}$，∴m=-2$\sqrt{3}$，∴f（x）=cosx（2sinx+mcosx）=cosx（2sinx-2$\sqrt{3}$cosx）=sin2x-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
∴f（$\frac{π}{6}$）=2sin0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$．
（2）函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$的图象向右平移$\frac{π}{6}$后，得到函数g（x）=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$的图象，
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，sin（2x-$\frac{2π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，f（x）∈[-2-$\sqrt{3}$，0]，
即g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-2-$\sqrt{3}$，0]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．