Question

8．已知f₁（x）=e^x（sinx+cosx），f_n+1（x）=f_n′（x），则f₂₀₁₇（x）=（　　）

• A． -2¹⁰⁰⁷e^xcosx
• B． -2¹⁰⁰⁷e^x（cosx-sinx）
• C． 2¹⁰⁰⁸e^xsinx
• D． 2¹⁰⁰⁸e^x（sinx+cosx）

Answer 1

分析 求函数的导数，寻找导函数的规律即可得到结论．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^x•cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=2e^x•（cosx-sinx），
f₄（x）=f₃′（x）=-2²e^x•sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=-2²e^x（sinx+cosx），
f₆（x）=f₅′（x）=-2³e^xcosx，
f₇（x）=f₆′（x）=-2³e^x（cosx-sinx），
f₈（x）=f₇′（x）=2⁴e^xsinx，
f₉（x）=f₈′（x）=2⁴e^x（sinx+cosx）
…
f₂₀₁₇（x）=2¹⁰⁰⁸e^x（sinx+cosx），
故选：D

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于中档题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．