Question

13．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$具有如下性质：当a＞0时，该函数在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+$\frac{{2}^{b}}{x}$（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常数 c＞0）奇偶性和定义域内的单调性；
（3）对函数y=x+$\frac{a}{x}$和y=x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$（常数 a＞0）作出推广，使的它们都是你所推广的函数的特例，研究其单调性（只需写出结论，不必证明）．

Answer 1

分析 （1）由对勾函数的性质求得函数y=x+$\frac{{2}^{b}}{x}$（x＞0）的最小值，再由最小值为6列式求得b值；
（2）由偶函数的定义判断函数y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常数 c＞0）是偶函数，再由复合函数的单调性结合该函数是偶函数求其单调区间；
（3）对比（1）（2）可分n为奇数和偶数得到函数y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）的单调区间．

解答 解 （1）由函数y=x+$\frac{a}{x}$的性质：当a＞0时，该函数在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数，可得
当x=$\sqrt{{2}^{b}}$时，y=x+$\frac{{2}^{b}}{x}$（x＞0）有最小值为2$\sqrt{{2}^{b}}$，
∴2$\sqrt{{2}^{b}}$=6，得b=2log₂3；
（2）函数y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常数 c＞0）的定义域为{x|x≠0}，又f（-x）=$（-x）^{2}+\frac{c}{（-x）^{2}}={x}^{2}+\frac{c}{{x}^{2}}$=f（x），
∴函数y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常数 c＞0）为偶函数，
当x＞0时，由复合函数的单调性可得y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$在（0，$\root{4}{c}$]上是减函数，在[$\root{4}{c}$，+∞）上是增函数，
由函数为偶函数，结合偶函数的性质可得：函数y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$在（-∞，-$\root{4}{c}$]，（0，$\root{4}{c}$]上是减函数，在[-$\root{4}{c}$，0），[$\root{4}{c}$，+∞）上是增函数；
（3）当n为奇数，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）为奇函数，在[-$\root{2n}{a}$，0），（0，$\root{2n}{a}$]是减函数，在[$\root{2n}{a}$，+∞），（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是增函数；
当n为偶数，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞o）为偶函数，在（0，$\root{2n}{a}$]，（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是减函数，在[-$\root{2n}{a}$，0），[$\root{2n}{a}$，+∞）上是增函数．
证明：y′=（xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$）′=nx^n-1+a（-n）x^-n-1=$\frac{n{x}^{2n}-an}{{x}^{n+1}}$，
令y′=0，即x²ⁿ=a，解得x=±$\root{2n}{a}$．
当n为奇数，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）为奇函数，在[-$\root{2n}{a}$，0），（0，$\root{2n}{a}$]是减函数，在[$\root{2n}{a}$，+∞），（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是增函数；
当n为偶数，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞o）为偶函数，在（0，$\root{2n}{a}$]，（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是减函数，在[-$\root{2n}{a}$，0），[$\root{2n}{a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题考查对勾函数的性质，熟记并灵活运用性质求解该类型函数的值域尤为重要，是中档题．