Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是A（0，1），B，C，是椭圆上两点，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0．
（1）若椭圆的另一个顶点是抛物线y²=8x的焦点，求椭圆的离心率；
（2）若△ABC面积的最大值为$\frac{27}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知的b，再由抛物线焦点求得a，结合隐含条件求得c，则椭圆离心率可求；
（2）由题意知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且AB、AC所在直线斜率存在，设出两直线方程，与椭圆方程联立，求出B、C坐标，代入三角形面积公式，利用换元法结合基本不等式得到面积最大值，从而求得a值．

解答 解：（1）由抛物线y²=8x，得2p=8，p=4，
∴$\frac{p}{2}=2$，即抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为（2，0），即a=2．
又椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是A（0，1），可得b=1，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$，则e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由题意知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，
不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，
解得${x}_{B}=-\frac{2{a}^{2}k}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理${x}_{C}=\frac{2{a}^{2}k}{{a}^{2}+{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{{{x}_{B}}^{2}+（{y}_{B}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理可得：|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|AB||AC|=2a⁴×$\frac{k（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{4}+{a}^{4}{k}^{2}+{k}^{2}+{a}^{2}}$=2a⁴×$\frac{k+\frac{1}{k}}{{a}^{2}（k+\frac{1}{k}）^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$，
令k+$\frac{1}{k}$=t≥2，
则S=2a⁴×$\frac{t}{{a}^{2}{t}^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{4}}{{a}^{2}t+\frac{（a-1）^{2}}{t}}$≤$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}$，当且仅当t=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$≥2，
即a≥1+$\sqrt{2}$时取等号．
由$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}=\frac{27}{8}$，解得a=3，或a=$\frac{3+\sqrt{297}}{16}$（舍去）．
1＜a＜1+$\sqrt{2}$时无解．
∴a=3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、两点之间的距离公式、基本不等式的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．