Question

4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得a=2b•cosB，进而利用余弦定理即可解得a的值．
（2）由（1）可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵A=2B，
∴sinA=sin2B，
∴sinA=2sinB•cosB，
∴a=2b•cosB，
∴$cosB=\frac{a}{2b}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
∵b=3，c=1，解得a=$2\sqrt{3}$．
（2）∵$a=2\sqrt{3}$，由（1）得：cosB=$\frac{a}{6}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_△}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．