Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+（{a-1}）lnx$．讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（{a-1}）}}{x}$=$\frac{{（{x-1}）（{x+1-a}）}}{x}$，
令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1，
①当a=2时，f'（x）≥0恒成立，则函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②当a-1＞1，即a＞2时，在区间（0，1）和（a-1，+∞）上f'（x）＞0；
在区间（1，a-1）上f'（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）．
③当0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，在区间（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间（a-1，1）上f'（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）．
④当a-1≤0，即a≤1时，在区间（0，1）上f'（x）＜0，
在区间（1，+∞）上f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．