Question

14．在直角坐标系xOy中，已知圆C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=2+sinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂的极坐标方程为ρcosθ+2=0．
（1）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（2）若直线C₃的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，设C₃与C₁的交点为M，N，P为C₂上的一点，且△PMN的面积等于1，求P点的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；
（2）将$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，根据韦达定理，即可求出|MN|的值，根据三角形的面积公式可得P点到直线$θ=\frac{π}{4}$距离为$\sqrt{2}$，设P（-2，y），即可求出答案

解答 解：（1）C₁的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=1，即x²+y²-2x-4y+4=0，
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，C₂的直角坐标方程为x=-2；
（2）将$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，
得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$得${ρ_1}=2\sqrt{2}，{ρ_2}=\sqrt{2}$，
所以$|{MN}|=\sqrt{2}$，
因为△PMN的面积等于1，所以P点到直线$θ=\frac{π}{4}$即x-y=0距离为$\sqrt{2}$，
设P（-2，y），则$\frac{{|{-2-y}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}，|{y+2}|=2，y=0$或-4，
P点坐标为（-2，0）或（-2，-4）．

点评 本题考查了把极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程、极坐标与直角坐标的互化方法，属于中档题．