Question

6．已知下列两个命题：
命题p：实系数一元二次方程x²+mx+2=0有虚根；
命题q：关于x的方程：2x²-4（m-1）x+m²+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于$4\sqrt{2}$，
若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据实系数一元二次方程有虚根的条件：判别式小于0，以及共轭复数的积与模的关系，根据二次不等式的解法，以及p、q均为真命题，求交集即可得到所求范围．

解答 解：命题p：实系数一元二次方程x²+mx+2=0有虚根，
等价为m²-8＜0，解得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$①
命题q：关于x的方程：2x²-4（m-1）x+m²+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于$4\sqrt{2}$，
等价为16（m-1）²-8（m²+7）＜0，解得-1＜m＜5，②
设两个虚根为x₁，x₂，
则有x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+7），
由x₁，x₂，互为共轭复数，可得|x₁|+|x₂|=2|x₁|=2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2（{m}^{2}+7）}$，
即有$\sqrt{2（{m}^{2}+7）}$≤4$\sqrt{2}$，解得-3≤m≤3，③
若p、q均为真命题，
由①②③可得，-1＜m＜2$\sqrt{2}$．
可得实数m的取值范围为（-1，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查实系数一元二次方程有虚根的条件，以及复数的模的定义，考查二次不等式的解法，以及命题的真假判断，考查运算能力，属于中档题．