Question

16．设数列{a_n}满足：a₁=1且a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）用数学归纳法证明不等式：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜n（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式，和等比数列的求和公式即可求出答案．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答 （1）解：由题意有：${a_{n+1}}+1=2（{a_n}+1）（n∈{N^*}）$，
即{a_n+1}是一个以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，（2分）
∴${a_n}+1={2^n}，\;\;∴{a_n}={2^n}-1$，（4分）
∴${S_n}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-n$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．（6分）
（2）证明：由（Ⅰ）可得所证不等式为$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}＜n$（n≥2，n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}=\frac{4}{3}＜2$，不等式成立；（8分）
②假设n=k（k≥2，k∈N^*）时不等式成立，
即$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}＜k$，
当n=k+1时，不等式左边=$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$，（10分）
∵k≥2，k∈N^*，∴$\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜1$，∴$k+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+1$，
∴当n=k+1时，$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+1$成立，（11分）
综上①②，对任意n∈N^*，不等式成立．（12分）

点评 本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．