Question

5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠PAD=60°，求直线AB与平面PBM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点E，连结PE，EM，AC．则AC∥EM，由菱形性质得BD⊥EM，又BD⊥PM，故而BD⊥平面PEM，于是BD⊥PE，又PE⊥AD，故而PE⊥平面ABCD，从而得出结论；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBM的法向量和$\overrightarrow{AB}$的坐标，计算出|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AB}$＞|即为答案．

解答 解：（1）证明：取AD的中点E，连接PE，EM，AC．
∵PA=PD，
∴PE⊥AD．
∵底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又EM∥AC，
∴EM⊥BD．
又BD⊥PM，
∴BD⊥平面PEM，
则BD⊥PE．
∴PE⊥平面ABCD．
又PE?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：设PA=PD=2a，由∠APD=60°可得AD=2a，$PE=\sqrt{3}a$．
可建立如图空间直角坐标系E-xyz，
则$A（a，0，0），P（0，0，\sqrt{3}a），M（{-\frac{3}{2}a，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0}），B（0，\sqrt{3}a，0）$．∴$\overrightarrow{AB}=（-a，\sqrt{3}a，0）$，$\overrightarrow{PM}=（{-\frac{3}{2}a，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，-\sqrt{3}a}）$，$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}a，-\sqrt{3}a）$．
设n=（x，y，z）为平面PBM的法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{PB}=0}\\{n•\overrightarrow{PM}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}ax+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ay-\sqrt{3}az=0}\\{\sqrt{3}ay-\sqrt{3}az=0}\end{array}}\right.$$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z}\\{y=z}\end{array}}\right.$
取$z=\sqrt{3}$，可得$n=（-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$为平面PBM的一个法向量．
又$cos\left?{n，\overrightarrow{AB}}\right＞$=$\frac{a+3a}{{2\sqrt{7}a}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
则AB与平面PBM所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．