Question

13．实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+6≥0}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$，当a＞0，b＞0时，z=ax+by的最大值为3，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． 2+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+6=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3）．
此时z=3a+3b=3，
即a+b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）
=3+$\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{2a}{b}=\frac{b}{a}$时取=号，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．