Question

2．（1）已知tanθ=-$\frac{3}{4}$，求2+sinθcosθ-cos²θ的值．
（2）设f（θ）=$\frac{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}（2π-θ）+cos（-θ）-3}}{{2+2{{cos}^2}（π+θ）+cos（2π-θ）}}$，求f（$\frac{π}{3}$）．
（3）函数y=cos²x-3cosx+2的最小值是多少．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
（2）利用诱导公式化简求解即可．
（3）利用三角函数的有界性，结合二次函数化简求解即可．

解答 解：（1）tanθ=-$\frac{3}{4}$，2+sinθcosθ-cos²θ
=$\frac{2si{n}^{2}θ+sinθcosθ+co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$
=$\frac{2ta{n}^{2}θ+tanθ+1}{ta{n}^{2}θ+1}$
=$\frac{\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+1}{\frac{9}{16}+1}$
=$\frac{22}{25}$．
（2）f（θ）=$\frac{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}（2π-θ）+cos（-θ）-3}}{{2+2{{cos}^2}（π+θ）+cos（2π-θ）}}$
=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}θ+cosθ-3}{2+2co{s}^{2}θ+cosθ}$
f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{2co{s}^{3}\frac{π}{3}+si{n}^{2}\frac{π}{3}+cos\frac{π}{3}-3}{2+2co{s}^{2}\frac{π}{3}+cos\frac{π}{3}}$
=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-3}{2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$
=$-\frac{1}{2}$．
（3）函数y=cos²x-3cosx+2=（cosx-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥0，cosx=1表达式取得最小值0．
函数y=cos²x-3cosx+2的最小值：0．

点评 本题考查三角函数化简求值，诱导公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．