Question

20．当x∈[0，1]时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分x=0，0＜x≤1，两种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．

解答 解：当x=0时，不等式ax³-x²+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≥$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=-6，
∴a≥-6；
综上所述，实数a的取值范围是a≥-6．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．