【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD, .
(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
【答案】
(1)证明:∵A1O⊥面ABCD,且BD面ABCD,∴A1O⊥BD;
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,A1O∩AC=O,
∴BD⊥面A1AC,且A1C面A1AC,故A1C⊥BD.
在正方形ABCD中,∵ ,∴AO=1,
在Rt△A1OA中,∵ ,∴A1O=1.
设B1D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,∴A1C⊥E1O.
又BD面BB1D1D,且E10面BB1D1D,且BD∩E1O=O,
∴A1C⊥面BB1D1D;
(2)解:以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,1,1),
.
由(1)知,平面BB1D1D的一个法向量 ,
,
.
设平面OCB1的法向量为 ,
由 ,得
,取z=﹣1,得x=1.
∴ .
则 =
.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为 .
【解析】(1)要证明A1C⊥平面BB1D1D,只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可,由已知可证出A1C⊥BD,取B1D1的中点为E1 , 通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O.由线面垂直的判定定理问题得证.(2)以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系,然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量,利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】已知幂函数满足
.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数
使得
的最小值为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数
,使函数
在
上的值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口
北偏西
且与该港口相距20海里的
处,并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小船沿直线方向以
海里/时的航行速度匀速行驶,经过
小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
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【题目】在2016年6月英国“脱欧”公投前夕,为了统计该国公民是否有“留欧”意愿,该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民,调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”.现已得知50人中赞成“留欧”的占60%,统计情况如下表:
年龄层次 | 赞成“留欧” | 反对“留欧” | 合计 |
18岁—19岁 | 6 | ||
50岁及50岁以上 | 10 | ||
合计 | 50 |
(1)请补充完整上述列联表;
(2)请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关?请说明理由.
参考公式与数据:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知向量,
,函数
,函数
在
轴上的截距我
,与
轴最近的最高点的坐标是
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移
(
)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数
的图象,求
的最小值.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为
的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,
只与道路畅通状况有关,对其容量为
的样本进行统计,结果如图:
| 25 | 30 | 35 | 40 |
频数(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列与数学期望
;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求证:平面PEC⊥平面PCD.
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