【题目】已知函数f(x)=exlnx+ .
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)证明:f(x)>1.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x﹣1)+2;
(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ ex﹣1,
从而f(x)>1等价于xln x>xe﹣x﹣ .
设函数g(x)=xln x,
则g′(x)=1+ln x,
所以当x∈(0, )时,g′(x)<0;
当x∈( ,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,
从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g( )=﹣ .
设函数h(x)=xe﹣x﹣ ,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣ .
因为gmin(x)=h(1)=hmax(x),
所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
【解析】(1)求出原函数的导函数,得到f′(1)=e,进一步求得f(1)=2,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程可求;(2)函数f(x)=exlnx+ ﹣1的定义域为(0,+∞),由(1)得到函数在定义域内的最小值为1,则答案得证.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2+c2=ac+bc+ca.
(1)证明:△ABC是正三角形;
(2)如图,点D的边BC的延长线上,且BC=2CD,AD= ,求sin∠BAD的值.
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【题目】《九章算术均输》中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,乙所得为( )
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
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【题目】已知椭圆: + =1(a>b>0),离心率为 ,焦点F1(0,﹣c),F2(0,c)过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△F2MN的周长为4. (I) 求椭圆方程;
(II) 与y轴不重合的直线l与y轴交于点P(0,m)(m≠0),与椭圆C交于相异两点A,B且 =λ .若 +λ =4 ,求m的取值范围.
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【题目】若函数f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.(﹣ )
B.( )
C.( )
D.( )
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【题目】对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0 , 则称点(x0 , f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现,求:函数 对称中心为 .
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【题目】已知函数f(x)=ax2ex+blnx,且在P(1,f(1))处的切线方程为(3e﹣1)x﹣y+1﹣2e=0,g(x)=( ﹣1)ln(x﹣2)+ +1.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)的最小值与g(x)的最大值相等.
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