【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)为f(x)的导函数,求g(x)单调区间;
(2)已知函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a取值范围.
【答案】
(1)解:由f′(x)=ln x﹣2ax+2a,
可得g(x)=ln x﹣2ax+2a,x∈(0,+∞),
所以g′(x)= ﹣2a=
,
当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0,x∈(0, )时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈( ,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)的单调增区间为(0, ),单调减区间为(
,+∞)
(2)解:由(1)知,f′(1)=0.
①当0<a< 时,
>1,由(1)知f′(x)在(0,
)内单调递增,
可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1, )时,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, )内单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当a= 时,
=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
③当a> 时,0<
<1,当x∈(
,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
④a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在x=1处取极小值,不合题意;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为( ,+∞)
【解析】(1)先求的函数f(x)的导函数g(x),再由g(x)的导函数求得g(x)的单调区间;(2)函数f(x)在x=1处取得极大值,那么当x<1时
f′(x)>0,当x>1时f′(x)<0,然后对a进行分类讨论,最后求得实数a的取值范围.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+(a﹣2)y+1=0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】下列说法中,正确的个数是( )
①函数f(x)=2x﹣x2的零点有2个;
②函数y=sin(2x+ )sin(
﹣2x)的最小正周期是π;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题;
④ dx=
.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】设函数f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2],a为常数.
(1)用g(x)表示f(x)的最小值,求g(a)的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整数m,使得g(a)﹣m≤0对于任意a∈R均成立,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0, ),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1 , 以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2 , 则( )
A.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值
B.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值
C.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大
D.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小
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【题目】在直角坐标系中,圆
与
轴相切于点
,且圆心
在直线
上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(II)设为圆
上的两个动点,
,若直线
和
的斜率之积为定值2,试探求
的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数
的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程;
(2)若过点的直线
与圆
相交,所截得的弦长为4,求直线
的方程.
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【题目】已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)函数若存在
使得
成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数讨论函数
的零点个数(直接写出答案,不要求写出解题过程).
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