Question

【题目】下列说法中，正确的个数是（ ）
①函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；
②函数y=sin（2x+ ）sin（ ﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；
④ dx= ．
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：对于①，由函数f（x）=2x﹣x2，

∵f（2）=f（4）=0，∴2和4是函数的零点，

又f（0）=1＞0，f（﹣1）=2﹣1﹣（﹣1）2=﹣ ＜0，

∴f（0）f（﹣1）＜0；

∴f（x）在区间（﹣1，0）上存在零点，

∴函数f（x）共有3个零点，①错误；

对于②，函数y=sin（2x+ ）sin（ ﹣2x）

=sin（2x+ ）cos（2x+ ）

= sin（4x+ ），

∴y的最小正周期是T= = ，②错误；

对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是：

若函数f（x）在x=x0处没极值，f'（x0）≠0，是错误的，

如f（x）=x3，x=0不是函数的极值点，但x=0时，f′（0）=0，∴③错误；

对于④，根据定积分的几何意义知， dx表示单位圆上半部分与x轴围成的面积，

∴ dx= π12= ，∴④正确；

综上，正确的命题是④，只有1个．

所以答案是：B．

【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．