Question

【题目】（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．
（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或 ．

1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为

∴f（x）的单调增区间为 ，f（x）的单调减区间为 ．

2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为

∴f（x）的单调增区间为 ，f（x）的单调减区间为

（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在 内递减， 内单调递增．

1°当 ，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．

f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3＜0

∴f（x）在（0，1）内有零点．

2°当0＜ ＜1，即0＜t＜2时，f（x）在 内递减，在 内单调递增．

若 ＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t＞0

∴f（x）在 内存在零点．

若 ＜0，f（0）=t﹣1＞0

∴f（x）在 内存在零点．

∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点

【解析】（1）利用函数的导函数求所给函数的单调区间；（2）根据（1）中所求的单调区间对t进行分类讨论，再利用零点存在定理证明命题成立.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．