Question

【题目】在直角坐标系中，圆与轴相切于点，且圆心在直线上.

(Ⅰ)求圆的标准方程；

(II)设为圆上的两个动点， ,若直线和的斜率之积为定值2，试探求的最小值．

Answer 1

【答案】(I)见解析(II) 当时， 最小值为.

【解析】试题分析：（1）根据直线和圆的位置关系得到圆心和半径，得到圆的方程；（2）根据题意得到，通过换元求得函数的最值即可。

解析：

(I)因为圆C与y轴相切于点，所以圆心的纵坐标.

因为圆心在直线上，所以,

又由圆与轴相切，可得圆的半径为 2 .

所以的方程为： .

(II)依题意，知心不与重合，

故不妨设直线方程为： .

因为圆心到直线的距离为.

因为直线和的斜率之积为定值-2，

所以直线的斜率为： ，

同的求解方法，可得，

所以，

化简得.

考察，

令，得.

由有正数解，且，

得，

解得.

故.

因为当时，可解得，

所以当时， 最小值为.