【题目】数列{an}的前n项和记为Sn , a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*).
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn .
【答案】解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*),①
an=Sn﹣1+2(n≥2),②…(2分)
①﹣②,得 (n≥2).
又由a2=S1+2=4,得 .
所以 (n≥1),数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故
.
(Ⅱ)由(Ⅰ),得 ,③
2Tn=1×22+2×33+3×24+…+n×2n+1,④
③﹣④,得 .
所以
【解析】(Ⅰ)由已知利用递推公式可得到等于2,进而得证数列{an}是等比数列即可求出通项公式。(Ⅱ)整理数列{nan}的前n项和Tn,两边乘以公比与原式相减即得 Tn。
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】下列说法中,正确的个数是( )
①函数f(x)=2x﹣x2的零点有2个;
②函数y=sin(2x+ )sin(
﹣2x)的最小正周期是π;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题;
④ dx=
.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数
的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程;
(2)若过点的直线
与圆
相交,所截得的弦长为4,求直线
的方程.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在第(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油吨,以满足城区内和城外汽车用油需求,已知城外汽车用油每周5吨;城区内汽车用油前
个周需求量
吨与
的函数关系式为
,
为常数,且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.
(1)试写出第个周结束时,汽油存储量
(吨)与
的函数关系式;
(2)要使16个周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城外的需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)函数若存在
使得
成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数讨论函数
的零点个数(直接写出答案,不要求写出解题过程).
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【题目】阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有
------①
------②
由①+② 得------③
令有
代入③得.
(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角
满足
,试判断
的形状.
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【题目】设函数f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣
),其中0<ω<3,已知f(
)=0.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣
,
]上的最小值.
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