【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在第(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)由函数为奇函数可得,即
,整理得
,可得
,解得
,经验证
不合题意.(2)根据单调性的定义可证明函数
在区间
上为增函数,从而可得
在区间
上的值域为
,故
,从而可得所有上界构成的集合为
.(3)将问题转化为
在
上恒成立,整理得
在
上恒成立,通过判断函数的单调性求得
即可得到结果.
试题解析:
(1)∵函数是奇函数,
∴,即
,
∴,
∴,
解得,
当时,
,不合题意,舍去.
∴.
(2)由(1)得,
设,
令,且
,
∵
;
∴在
上是减函数,
∴在
上是单调递增函数,
∴在区间
上是单调递增,
∴,即
,
∴在区间
上的值域为
,
∴,
故函数在区间
上的所有上界构成的集合为
.
(3)由题意知, 在
上恒成立,
∴,
∴,
因此在
上恒成立,
∴
设,
,
,由
知
,
设,则
,
,
∴在
上单调递减,
在
上单调递增,
∴在
上的最大值为
,
在
上的最小值为
,
∴.
∴的取值范围
.
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【题目】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1 , a3 , a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn , 令 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时~0.7元/千瓦时之间,而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时),经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为
.试问当地电价最低为多少元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
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【题目】已知线段AB的端点A的坐标为,端点B是圆
:
上的动点.
(1)求过A点且与圆相交时的弦长为
的直线
的方程。
(2)求线段AB中点M的轨迹方程,并说明它是什么图形。
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【题目】数列{an}的前n项和记为Sn , a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*).
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn .
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【题目】已知y=f(x)(x∈R)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2时都成立,求m的取值范围.
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【题目】为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,
(1)求图中 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为 ,求
的分布列及均值.
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