Question

【题目】已知圆经过点， 和直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．

【解析】试题分析：（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；

（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.

试题解析：

（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)， ,

线段AB的垂直平分线方程为，即，

设圆心的坐标为C(a，－a－1)，

则，

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，

半径r＝|AC|＝＝．

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

（解二：可设原方程用待定系数法求解）

（2）由题知圆心C到直线l的距离，

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，

满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，

解得k＝，

∴直线l的方程为y＝（x－2）．

综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．