Question

已知数列{a_n}，a_n∈N^*，前n项和S_n=（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n﹣30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

解：（1）证明：∵a_n+1
=S_n+1﹣S_n
=（a_n+1+2）²﹣（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²﹣（a_n+2）²，
∴（a_n+1﹣2）²﹣（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n﹣4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1﹣a_n﹣4=0．
即a_n+1﹣a_n=4，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）由（1）知a₁=S₁=（a₁+2），解得a₁=2．∴a_n=4n﹣2，
b_n=a_n﹣30=2n﹣31，（以下用两种方法求解）
法一：
由b_n=2n﹣31可得：首项b₁=﹣29，公差d=2
∴数列{b_n}的前n项和s_n=n²﹣30n=（n﹣15）²﹣225
∴当n=15时，s_n=225为最小；
法二：
由得
≤n＜．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S_5最小．又b₁=﹣29，
∴S₁₅==﹣225

略