Question

【题目】如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，，且，则的最大值为______．

Answer 1

【答案】4

【解析】

以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，

由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

可得，，，

以AB为直径的半圆方程为，

以AC为直径的半圆方程为，

设，，，，

，可得，

即有，

即为，

即有，

又，，可得，即，

则

，

可得，即，时，的最大值为4．

故答案为：4．