Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁．∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=3a_n-1-2．变形为：a_n-1=3（a_n-1-1）．即可证明．
（2）由（1）可得：a_n-1=3ⁿ，即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，∴n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁=4．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-4）$，化为：a_n=3a_n-1-2．
变形为：a_n-1=3（a_n-1-1）．
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为3，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n-1=3ⁿ，
解得a_n=3ⁿ+1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．