Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．
（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）设

SE

=λ

EB

，当平面EDC⊥平面SBC时，求λ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）先证明BC⊥BD，SD⊥BD，可得BC⊥平面SBD，即可证明无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）建立坐标系，设E（x，y，z），由

SE

=λ

EB

，求出E的坐标，求出平面SBC的一个法向量、平面EDC的一个法向量，利用平面EDC⊥平面SBC，可得

n1

•

n2

=2-λ=0，即可求λ的值；
（Ⅲ）当λ=2时，E（

2

3

，

2

3

，

2

3

），同理可求平面ADE的一个法向量

m1

=（0，1，1），取平面CDE的一个法向量．利用向量的夹角公式，即可求二面角A-DE-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，
∴BC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BD，
∵BD∩SD=D，
∴BC⊥平面SBD，
∵DE?面SBD，
∴无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设E（x，y，z），则
∵

SE

=λ

EB

，∴（x，y，z-2）=λ（1-x，1-y，-z），
∴E（

λ

1+λ

，

λ

1+λ

，

2

1+λ

），
设平面SBC的一个法向量为

n2

=（a，b，c），则
∵

SC

=（0，2，-2），

SB

=（1，1，-2），
∴

2b-2c=0 a+b-2c=0

，取平面SBC的一个法向量

n2

=（1，1，1），
同理可求平面EDC的一个法向量

n1

=（2，0，-λ），
∵平面EDC⊥平面SBC，
∴

n1

•

n2

=2-λ=0，
∴λ=2；
（Ⅲ）解：当λ=2时，E（

2

3

，

2

3

，

2

3

），同理可求平面ADE的一个法向量

m1

=（0，1，1），
取平面CDE的一个法向量

m2

=（1，0，-1），则cosθ=

m1 • m2

| m1 || m2 |

=

1

2

，
∴二面角A-DE-C为120°．

点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．