Question

（Ⅰ）已知函数：f（x）=2^n-1（xⁿ+a）-（x+a）ⁿ，（x∈[0，+∞），n∈N^*）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：

a n+b n

2

≥（

a+b

2

）ⁿ（a＞0，b＞0，n∈N^*）；
（Ⅲ）定理：若a₁，a₂，a₃，a_k均为正数，则有

a n 1 +a n 2 +a n 3 +… +a n k

k

≥（

a1+a2+a3+…ak

k

）ⁿ成立（其中k≥2，k∈N^*，k为常数．请你构造一个函数g（x），证明：当a₁，a₂，a₃，…a_k，a_k+1均为正数时，

a n 1 +a n 2 +a n 3 + …a n k+1

k+1

≥（

a1+a2+a3+…ak+1

k+1

）ⁿ．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,不等式的证明

专题：证明题,不等式

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求出函数的最小值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，化简证明即可．
（Ⅲ）利用分析法，通过构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的单调性证明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）令f'（x）=2^n-1nx^n-1-n（a+x）^n-1=0
得（2x）^n-1=（a+x）^n-1，∴2x=a+x，∴x=a---------------（2分）
当0≤x≤a时，∴2x＜a+x，∴f'（x）≤0，故f（x）在[0，a]上递减．
当x＞a，f'（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上递增．
∴，当x=a时，f（x）的最小值为f（a）=0---------------（4分）
（Ⅱ）由b＞0，有f（x）≥f（a）=0，即f（b）=2^n-1（aⁿ+bⁿ）-（a+b）ⁿ≥0
故　

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n(a＞0，b＞0，n∈N*)．--------（5分）
（Ⅲ）证明：要证：

a n 1 + a n 2 + a n 3 +…+ a n k+1

k+1

≥(

a1+a2+a3+…+ak+1

k+1

)n
只要证：(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+

a

n k+1

)≥(a1+a2+a3+…+ak+1)n
设g(x)=(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+xn)-(a1+a2+a3+…+x)n-------------（7分）
则g′(x)=(k+1)n-1•nxn-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1
令g'（x）=0得x=

a1+a2+a3+…+ak

k

---------------（8分）
当0≤x≤

a1+a2+a3+…+ak

k

时，g′(x)=(k+1)n-1•nxn-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1
≤n(a1+a2+a3+…+x)n-1-n(a1+a2+a3+…+x)n-1=0
故g（x）在[0，

a1+a2+a3+…+ak

k

]上递减，
类似地可证g（x）在[

a1+a2+a3+…+ak

k

，+∞)递增
∴当x=

a1+a2+a3+…+ak

k

时，g（x）的最小值为g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)------------（10分）
而g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)
=(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

+(

a1+a2+a3+…+ak

k

)n)-(a1+a2+…+ak+

a1+a2+a3+…+ak

k

)n
=

(k+1)n-1

kn

[kn(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

+(a1+a2+a3+…+ak)n)-(k+1)(a1+a2+…+ak)n]
=

(k+1)n-1

kn

[kn(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-k(a1+a2+…+ak)n]
=

(k+1)n-1

kn-1

[kn-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-(a1+a2+…+ak)n]
由定理知：kn-1(

a

n 1

+

a

n 2

+…+

a

n k

)-(a1+a2+…+ak)n≥0，
故g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)≥0
∵a_k+1∈[0，+∞），
∴g(ak+1)≥g(

a1+a2+a3+…+ak

k

)≥0
故(k+1)n-1(

a

n 1

+

a

n 2

+

a

n 3

+…+

a

n k+1

)≥(a1+a2+a3+…+ak+1)n
即：

a n 1 + a n 2 + a n 3 +…+ a n k+1

k+1

≥(

a1+a2+a3+…+ak+1

k+1

)n---------------（14分）

点评：本题考查函数的单调性，分析法构造法以及函数的导数的综合应用，难度比较大．