Question

15．已知f（x）=x²-kx．
（1）若f（x）在[1，4]上是减函数，求实数k的取值范围；
（2）用定义证明f（x）在（$\frac{k}{2}$，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可求出k的取值范围．
（2）根据增函数的定义，设x₁，x₂∈（$\frac{k}{2}$，+∞），且x₁＜x₂，通过作差的方法证明f（x₁）＜f（x₂）即可

解答 解：（1）f（x）在[1，4]上是减函数，
∴$\frac{k}{2}$≥4，
解得k≥8，
∴实数k的取值范围[8，+∞），
（2）证明：设x₁，x₂∈（$\frac{k}{2}$，+∞），且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=x²₁-kx₁-（x²₂-kx₂）
=（x₁+x₂-k）（x₁-x₂），
∵$\frac{k}{2}$＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-k＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（$\frac{k}{2}$，+∞）上是增函数

点评 本题考查了二次函数的性质，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．