Question

20．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=4|MN|，线段F₁N交双曲线C于点Q，且|F₁Q|=|QN|，则该双曲线的离心率为 （　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 运用双曲线的对称性由条件可设N的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，再由N，Q在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．

解答 解：由2c=|F₁F₂|=4|MN|，可得|MN|=$\frac{1}{2}$c，
由MN∥F₁F₂，可设N（$\frac{1}{4}$c，t），
由|F₁Q|=|QN|，可得
Q为F₁N的中点，可得Q（-$\frac{3c}{8}$，$\frac{t}{2}$），
由N，Q在双曲线上，可得$\frac{{c}^{2}}{16{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{9{c}^{2}}{64{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{4{b}^{2}}$=1
消去t整理可得，e=$\sqrt{6}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，注意运用中点坐标公式和点满足双曲线的方程，以及离心率的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．