Question

12．已知定义在[-1，1]上的函数f（x）的图象关于原点对称，且函数f（x）在[-1，1]上为减函数．
（1）证明：当x₁+x₂≠0时，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合已知中函数的单调性，分x₁+x₂＞0时和x₁+x₂＜0时两种情况讨论，可证得当x₁+x₂≠0时，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，则f（m²-1）＞f（1-m），则-1≤m²-1＜1-m≤1，解得答案．

解答 证明：（1）∵定义在[-1，1]上的函数f（x）的图象关于原点对称，且函数f（x）在[-1，1]上为减函数．
当x₁+x₂＞0时，x₁＞-x₂，f（x₁）＜f（-x₂）=-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＜0，
此时$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
当x₁+x₂＜0时，x₁＜-x₂，f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＞0，
此时$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
综上可得：当x₁+x₂≠0时，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
解：（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，
则f（m²-1）＞-f（m-1）=f（1-m），
故-1≤m²-1＜1-m≤1，
解得：m∈（-2，1），
∴实数m的取值范围为 （-2，1）．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的应用，函数及其应用，分类讨论思想，转化思想，难度中档．