Question

9．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（2-x）=f（x），且有最小值为1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解．
（2）利用二次函数的对称轴，讨论即可．
（3）求出f（x），y=2x+2m+1在[-1，3]上的值域，图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，分离后转化为一个函数求最值，即可求解m的范围．

解答 解：（1）由题意：图象过点（0，4），设二次函数解析式，f（x）=ax²+bx+4（a≠0）
对任意x满足f（2-x）=f（x），则有：对称轴x=$\frac{2-x+x}{2}=1$=$-\frac{b}{2a}$
∵最小值为1，∴a＞0
当x=1时，f（x）取得最小值1；
所以：$\left\{\begin{array}{l}{-b=2a}\\{a+b+4=1}\end{array}\right.$
解得：a=3，b=-6．
所以：f（x）的解析式为f（x）=3x²-6x+4．
（2）由（1）可知f（x）=3x²-6x+4．
对称轴x=1，开口向上，
f（x）在区间[3a，a+1]上不单调；
则有：$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞1}\\{3a＜1}\\{3a＜a+1}\end{array}\right.$
解得：$0＜a＜\frac{1}{3}$
所以实数a的取值范围（0，$\frac{1}{3}$）．
（3）当x在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，即3x²-6x+4＞2x+2m+1；
化简得：$\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+\frac{3}{2}＞m$．
∵x∈[-1，3]，
∴$（\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+\frac{3}{2}）_{min}=-\frac{7}{6}$
故得实数m的取值范围（-∞，$-\frac{7}{6}$）．

点评 本题考查了二次函数的解析式求法和最值问题．考查了恒成立问题转化为不等式求解．属于中档题．