Question

19．在△ABC中，满足a²+c²=b²+ac．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由a²-b²+c²-ac=0可得a²+c²-b²=ac，将其代入余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$中，可得cosB=$\frac{1}{2}$，进而可得B的值，即可得答案．
（2）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．

解答 解：（1）解：根据题意，a²-b²+c²-ac=0，则a²+c²-b²=ac，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
则B=60°；
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）．
∴a+c=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$sin（ $\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴$\frac{1}{2}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2．
∴a+c的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查余弦定理的运用，关键是牢记余弦定理的公式．