Question

5．已知函数f（x）=x³-3x及曲线y=f（x）上一点P（1，-2），
（I） 求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．

Answer 1

分析 （I） 求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；
（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m³-3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，-2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（I） 函数f（x）=x³-3x的导数为f′（x）=3x²-3，
点P（1，-2）处的切线斜率为3-3=0，
则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=-2；
（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），
且n=m³-3m，
可得切线的斜率为3m²-3，
切线的方程为y-n=（3m²-3）（x-m），
点P（1，-2）代入上式，可得
-2-m³+3m=（3m²-3）（1-m），
整理可得2m³-3m²+1=0，
即为（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=-$\frac{1}{2}$（1舍去），
可得切线的斜率为-$\frac{9}{4}$，
则所求切线的方程为y+2=-$\frac{9}{4}$（x-1），
即为9x+4y-1=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意在某点处和过某点的切线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．