Question

2．设函数f（x）=x²+ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
（1）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，可以确定f（x），不等式f（x）≥m的解集为R，等价于m≤f（x）_min
（2）由恒成立问题转化为根的个数以及对称轴和端点值问题．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+b，
且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴a=-4，b=3
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（x）=（x-2）²-1，
∴f（x）最小值为-1
∴不等式f（x）≥m的解集为R，实数m的取值范围为m≤-1
（2）∵f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，
即x²-4x+3≥mx对任意的实数x≥2都成立，
两边同时除以x得到：x+$\frac{3}{x}$-4≥m对任意的实数x≥2都成立，
x≥2时，x+$\frac{3}{x}$-4≥-$\frac{1}{2}$，
∴m≤-$\frac{1}{2}$，
综上所述，m≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查转化问题以及根的个数以及对称轴和端点值问题．