Question

19．在长方体中，|OA|=6，|OC|=8，|OD′|=4，
（1）写出A′、B′、C、C′、D′四点的坐标；
（2）求出AC′的长．
（3）求AC′与BB′所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在长方体中，由空间向量的性质能求出A′、B′、C、C′、D′四点的坐标．
（2）先求出A（6，0，0），C′（0，8，6），由此能求出AC′的长．
（3）先分别求出$\overrightarrow{A{C}^{'}}$，$\overrightarrow{B{B}^{'}}$，由此能求出AC′与BB′所成角的余弦值．

解答 解：（1）如图，∵长方体中，|OA|=6，|OC|=8，|OD′|=4，
∴A′（6，0，4），B′（6，8，4），C（0，8，0），C′（0，6，4），D′（0，0，4）．
（2）∵A（6，0，0），C′（0，8，6），
∴AC′=$\sqrt{（0-6）^{2}+（8-0）^{2}+（6-0）^{2}}$=2$\sqrt{34}$．
（3）B（6，8，0），$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（-6，8，6），$\overrightarrow{B{B}^{'}}$=（0，0，4），
设AC′与BB′所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}^{'}}•\overrightarrow{B{B}^{'}}|}{|\overrightarrow{A{C}^{'}}|•|\overrightarrow{B{B}^{'}}|}$=$\frac{24}{2\sqrt{34}•4}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
∴AC′与BB′所成角的余弦值$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离的求法，考查两直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．