Question

9．已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线${l_1}：x-y-2\sqrt{2}=0$相切．
（1）若与直线l₁垂直的直线与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的纵截距；
（2）过点G（1，3）作圆C的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据点到直线的距离等于半径求出圆的标准方程，设直线的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4，利用${x_1}x{\;}_2+{y_1}{y_2}=2{x_1}x{\;}_2-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$，即可求直线的纵截距；
（2）设出切线的斜率，利用点到直线的距离等于半径，建立方程求出切线斜率即可得到结论．

解答 解：（1）圆心到直线的距离d=$\frac{|0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，即圆的半径R=2，
则圆C的方程为x²+y²=4，
设直线的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
设直线与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，${x_1}+{x_2}=b，{x_1}•{x_2}=\frac{{{b^2}-4}}{2}$①
因为OP⊥OQ，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即满足x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以${x_1}x{\;}_2+{y_1}{y_2}=2{x_1}x{\;}_2-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$②
由①②得b²=4，满足△＞0，即b=2或-2．
（3）因为点G（1，3）在圆外，设切线的斜率为k，
则直线方程为y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
即|3-k|=2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
平方得9-6k+k²=4k²+4，
即3k²+6k-5=0，
得k=$\frac{-6±\sqrt{36+4×3×5}}{6}$=$\frac{-6±4\sqrt{6}}{6}$=$\frac{-3±2\sqrt{6}}{3}$，
当k=$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$时，切线方程为$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$x-y+3-$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$=0，
当k=$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$时，切线方程为$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$x-y+3-$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离等于半径，建立方程关系是解决本题的关键．